แคลคูลัส พัฒนามาจากพีชคณิต เรขาคณิต และปัญหาทางฟิสิกส์ แคลคูลัสมีต้นกำเนิดจากสองแนวคิดหลักคือ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ทั้งสองแนวคิดที่กำเนิดจากปัญหาที่ต่างกันกลับมีความสัมพันธ์กันลึกซึ้งแท้จริงแล้วทฤษฎีทั้งสองเปรียบเสมือนเป็นด้านทั้งสองของเหรียญอันเดียวกัน นั่นคือเป็นสิ่งเดียวกันเพียงแต่มองคนละมุมเท่านั้น
แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ คือการหาค่าความเปลี่ยนแปลงของตัวแปรหนึ่ง เมื่ออีกตัวแปรหนึ่งเปลี่ยนแปลงในปริมาณที่น้อยมากๆ บางทีอนุพันธ์ที่เราจะได้พบครั้งแรกในโรงเรียนคือ สูตรอัตราเร็ว = ระยะทาง/เวลา สำหรับวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่ อัตราเร็วของคุณซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่บอกการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งในระยะเวลาหนึ่ง วิชาแคลคูลัสพัฒนาขึ้น เพื่อจัดการกับปัญหาที่ซับซ้อนและเป็นธรรมชาติกว่านี้ ซึ่งอัตราเร็วของคุณอาจเปลี่ยนแปลงได้
แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ศึกษาวิธีการหาปริพันธ์ (อินทิกรัล, Integral) ของฟังก์ชัน ซึ่งอาจนิยามจากลิมิตของผลรวมของพจน์ (ซึ่งเรียกว่าลิมิตของผลรวมรีมันน์) แต่ละพจน์นั้นคือพื้นที่ที่เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละแถบใต้กราฟของฟังก์ชัน ทำให้การอินทิเกรตเป็นวิธีที่ได้ผลวิธีหนึ่งในการหาพื้นที่ใต้กราฟ และพื้นที่ผิว และปริมาตรของแข็งเช่นทรงกลมและทรงกระบอก
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่า การหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์เป็นวิธีการที่ตรงกันข้ามกัน กล่าวคือ ถ้าเราสร้างฟังก์ชันที่เป็นปริพันธ์ของฟังก์ชันหนึ่งขี้นมา อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เราสร้าง ก็จะเท่ากับฟังก์ชันนั้น นอกจากนี้ เรายังหาปริพันธ์จำกัดเขตได้ด้วยการกำหนดค่าให้กับปฏิยานุพันธ์
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสเขียนในรูปสัญลักษณ์คณิตศาสตร์ได้ดังนี้: ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f บนช่วง [a, b] แล้ว
- และสำหรับทุก x ในช่วง [a, b] จะได้ว่า
ความจริงข้อนี้ปรากฏแก่ทั้งนิวตัน และไลบ์นิซ ซึ่งเป็นกุญแจนำไปสู่ การขยายผลลัพธ์เชิงวิเคราะห์อย่างมากมายหลังจากงานของทั้งสองเป็นที่รู้จัก. ความเชื่อมโยงนี้ ทำให้เราสามารถย้อนความเปลี่ยนแปลงทั้งหมดในฟังก์ชันในช่วงหนึ่ง จากอัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะใดขณะหนึ่ง โดยการหาปริพันธ์ของส่วนหลัง. ทฤษฎีบทมูลฐานนี้ยังให้วิธีในการคำนวณหา ปริพันธ์จำกัดเขต ด้วยวิธีทางพีชคณิตเป็นจำนวนมาก โดยไม่ต้องใช้วิธีการหาลิมิต ด้วยการหาปฏิยานุพันธ์. ทฤษฎีบทนี้ยังอนุญาตให้เราแก้สมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งคือสมการที่เกี่ยวข้องกันระหว่าง ฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า และอนุพันธ์ของมัน. สมการเชิงอนุพันธ์นั้นมีอยู่ทั่วไปในวิทยาศาสตร์
